【超初心者向け】pythonで音声認識③「離散フーリエ変換を実装してみよう」

今回は，基本的な音声認識をpythonで行う方法をお伝えしていこうと思います。本記事はpython実践講座シリーズの内容になります。その他の記事は，こちらの「Python入門講座/実践講座まとめ」をご覧ください。

【超初心者向け】python入門講座/実践講座まとめ目次 入門講座 １．実行環境２．文字の出力３．データ型４．変数５．更新と変換６．比較演算子７．論理演算子８．条件分岐９．リスト１０．辞...

お題

流れ

今回対象とするデータは「あいうえお」ではなく，データ長が1024である合成サイン波とします。なぜなら，DFTのデータ長が2のべき乗のときに，効率的な再帰計算により高速フーリエ変換が可能になるからです。

実際に合成サイン波を作ってみましょう。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# データ長
N = 128
x = np.arange(N)

# 周期
t1 = 10
t2 = 20
t3 = 30

# 3つの周期の重ね合わせ
y = np.sin(t1 * 2 * np.pi * (x/N)) + np.sin(t2 * 2 * np.pi * (x/N)) + np.sin(t3 * 2 * np.pi * (x/N))

# 可視化
plt.plot(x, y)

DFT（離散フーリエ変換）

離散フーリエ変換の式は以下の通りです。詳しい導出は省略します。こちらの資料[やる夫で学ぶディジタル信号処理]がおすすめです。

\begin{eqnarray}
X[\omega] &=& \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-i\frac{2\pi \omega n}{N}}
\end{eqnarray}

実装

この式を愚直に実装していきましょう。

import numpy as np

def DFT(x):
  # 結果を格納するリスト
  X = []

  # データ長
  length = x.shape[0]

  # データ長だけ繰り返します
  for n in range(length):

    # x[n]に掛け合わせる部分です
    weight = np.exp(-1j*((2*np.pi*n)/length))

    # シグマの部分です
    X_omega = 0
    for omega in range(length):
        X_omega += x[omega] * (weight**omega)
    X.append(X_omega)
  return np.array(X)

結果

# 実行
Y = DFT(y)

# 結果は複素数なので実部と虚部に分けて可視化
Y_real = np.abs(Y)
Y_imag = np.imag(Y)
plt.plot(np.arange(0, Y_real.shape[0]), Y_real)

plt.plot(np.arange(0, Y_real.shape[0]), Y_imag)