本記事はPRML「パターン認識と機械学習＜上＞第７版」（C.M.ビショップ著）の演習問題の基本問題・標準問題を解説したページになります。数式を打ち込む手間が面倒だったので，画像ファイルでアップしています。
また，数学的に厳密な議論はしていないです。その代わり，初学者がつまづきやすいポイントを重点的にお伝えしていくつもりです。目次はコチラの記事をご覧ください。
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1.20
少し難しい問題でした。問題文で示したい式に無理やり近づける発想と，指数関数の中に入れるために対数を利用するアイディア，そして対数を外すためにマクローリン展開による多項式近似を利用する柔軟な考えが求められます。しかも，マクローリン展開で一次近似をしても求めたい関係式は求まりません。二次近似までして初めて手に入れたい式を得ることができます。
（2021年8月10日追記）
hinokki様より導出に関する別の観点を提供いただきました。本文下のコメント，もしくはこちらのリンクからお読みいただけます。
こんにちは。最近prmlの自習をはじめており、参考にさせてもらっています。最後の部分ですが、$\hat{r}$の導出部分と同等の近似を施すことを考えると、$D-1$は$D$と近似する必要があります。
その近似が「気持ち悪い」と思う場合は、直前の近似をせずに$D-1 = r^2/\sigma^2$を代入することで、O(\epsilon/r)を理由にして強引に消さなくても、綺麗に導出できます。
直前のrに関する近似式を使うと汚くなるので、問題の誘導の仕方があまりよくないなという印象を受けました。
hinokki様
的確なご指摘ありがとうございます！
恐縮なのですが，自分自身hinokki様のご指摘をまだ咀嚼できておらず，うまく解答に反映できそうにありません。
恐縮ですが，本文中にhinokki様のコメントを参照いただくよう，追記しました。
貴重なご意見ありがとうございます！